Extending Whitney's extension theorem: nonlinear function spaces

Abstract

We consider a global, nonlinear version of the Whitney extension problem for manifold-valued smooth functions on closed domains C, with non-smooth boundary, in possibly non-compact manifolds. Assuming C is a submanifold with corners, or is compact and locally convex with rough boundary, we prove that the restriction map from everywhere-defined functions is a submersion of locally convex manifolds and so admits local linear splittings on charts. This is achieved by considering the corresponding restriction map for locally convex spaces of compactly-supported sections of vector bundles, allowing the even more general case where C only has mild restrictions on inward and outward cusps, and proving the existence of an extension operator. = Nous considérons une version du problème de l’extension de Whitney, globale et non linéaire, pour les fonctions lisses à valeurs dans des variétés et définies sur des domaines fermés C à bords non-lisses dans des variétés possiblement non compactes. Supposant que C est une sous-variété à bord anguleux, ou qu’elle est compacte et localement convexe à bords non-lisses, nous montrons que l’opérateur de restriction, à partir des fonctions définies partout, est une submersion de variétés localement convexes, et donc possède des scindages linéaires locaux sur les cartes. Nous considérons à cet effet l’opérateur de restriction correspondant pour les espaces localement convexes de sections de fibrés vectoriels à support compact, permettant aussi de tariter le cas plus général où C n’a que des restrictions légères sur les cusps vers l’intérieur et l’extérieur, et montrons l’existence d’un opérateur de prolongement.